MATEMATIKA

CHAPTER I

Materi

1.      Deret > deret tak terhingga, deret tak terhingga dengan suku-suku positif, tes intergal untuk menunjukkan ke konvergenan deret dengan suku-suku positif dan negatif, deret taylor, deret mc laurrin, deret faurie.

2.      Matrik > penjumlahan pengurangan perkalian matrik, matrik tranpose, adjoint matrik, matrik invers determinan.

3.      Fungsi > komplek, bidang argon, penjumlahan pengurangan perkalian dengan pembagian fungsi komplek.

4.      Barisan > himpunan besaran U1, U2, U3 yang disusun dalam urutan tertentu dan masig-masing sukunya dibentuk menurut pola yang tertentu pula yaitu Ur=f( r ).

Contoh :

1, 3, 5, 7 …..    barisan berikutnya haruslah 9

2, 6, 18, 54 …  barisan berikutnya haruslah 162

Demikian juga 1, -5, 37, 6  adalah barisan juga tetapi polanya tidak begitu jelas dan suku berikutnya tidak dapat diketahui langsung.

Barisan berhingga adalah barisan yang banyak sukunya berhingga.

Barisan tak berhingga adalah barisan yang tiada akhirnya.

DERET

            Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan

Contoh :

1, 3, 5, 7 …..    barisan

1+3+5+7 …..    deret

Suku-suku deret akan dinyatakan sebagai berikut :

U1       suku pertama

U2       suku kedua

U3       suku ketiga dan seterusnya

Ada dua jenis deret khusus yaitu

II  Deret hitung ( arithmetic series )

Salah satu contoh deret hitung adalah deret 2+5+8+11+14 …..

Pertambahan yang disebut beda ( common diference ) yaitu 3, d=3

11-8=3                         5-2=3

Deret hitung umunya dapat ditulis a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ …..

Dimana a= suku pertama         d= beda

Dan      a. Suku ke-n = a+(n-1)d

            b. jumlah n = suku yang pertama

Sn=n/2 ( 20+(n-1)d )

Contoh :

a.       Cari jumlah suku 20 yang pertama dari deret 10+6+2-2-6

Jawab :

10+6+2-2-6

a = 10

d = 2-6 = -4

      20 = 10+ ( 20-1)x -4

           = 10+ ( 19)x -4

           =10+ ( -56 )

           = -66                                   Sn = n/2 (20+ ( 20-1) x -4 )

                                                           = 20/2 (20+ ( 19 x -4 )

                                                           = 10 x -56 = -560

            Latihan

1.      Jika suku ke-7 = 22  suku ke-12 = 37 tetapkan deret ?

Jawab

U7 = 22           U12 = 37

d = U12 – U7

        12 – 7

   = 37 – 22

          5

    = 15 = 3 jadi d = 3                           U7 = a + (n – 1) x d

        5                                                  22   = a + (7 – 1)x 3

                                                             22 = a + (6)x 3

                                                            22 = a + 18

                                                             a = 22 – 18

                                                             a = 4

2.      Jika suku ke-6 = 5  suku ke-10 = 21 tentukan jumlah 30 suku pertama ?

Jawab

U6 = 5                         U10 = 21

d = U10 – U6

         10 – 6

    = 21 – 5

          4

    = 16

        4

 d = 4                           U6 = a + (n – 1)x d

                                       5 = a + (6 – 1)x 4

                                       5 = a + 20

                                       a = 20 – 5

                                       a = 15

Sn = n (30+ (30 – 1)x 4

        2

     = 30/2 (30+ (29 x 4)

     = 15 (30 + 119)

     = 15 x 146

     = 2190

MEAN ARITMETIK

            Kadang-kadang kita harus mencari rata-rata (mean) aritmatik duah buah bilangan p dan q. Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah bilangan A diantara bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga p + A + q membentuk suatu deret hitung.

A – p = d         dan q – A = d

A – p = q – A è 2A = p + q

A = p + q

         2

Ternyata mean aritmatik 2 bilangan tidak lain adalah harga tengah, jadi mean aritmatik dari 23 dan 58 adalah 40,5. Menyisipkan 3 buah aritmatik diantara bilangan yang diketahui p dan q kita harus menyisipkan p + A + B + C + q

Contoh

Sisipkanlah 3 buah mean aritmatik diantara 8 dan 18 ?

Jawab

8 + A + B + C + 18

a = 8                suku ke-5 = 18 è a + 4d = 18

jadi  8 + 4d = 18

            4d = 18 – 8

              d = 10 / 4 = 2,5

A = 8 + 2,5 = 10,5

B = 8 + 5 = 13

C = 8 + 7,5 = 15,5        jadi mean aritmatik yang dicari adalah 10.5, 13, 15,5

 

Latihan

Carilah 5 buah mean aritmatik diantara 12 dan 21,6

Jawab

12 + A + B + C + D + E + 21.6

a = 12              suku ke-7 = 21.6 è a + 6d = 21.6

jadi      12 + 6d = 21.6

                    6d = 21.6 – 12

                    6d = 9.6

                      d = 9.6 / 6 = 1.6

A = 12 + 1.6 = 13.6

B = 12 + 3.2 = 15.2

C = 12 + 4.8 = 16.8

D = 12 + 6.4 = 18.4

E = 12 + 8.0 = 20.0      jadi mean aritmatik yang dicari adalah 13.6, 15.2, 16.8, 18.4, 20.0

 

II. Deret Ukur ( deret goemetrik)

            Dinyatakan dengan DU : 1 + 3 + 9 + 27 + 81

Rasio = 27 : 9 = 3        9 : 3 = 3

Deret ukur mempunyai bentuk umum a + ar + ar² + ar³ …

Dan harus diingat

1.      Suku ke-n = ar ^n-1

2.      Jumlah suku ke-n è S_n = a ( 1 – r ⁿ  )

   1 – r

Contoh

Untuk derat 8 + 4 + 2 + 1 + ½ …. tentukan jumlah suku pertama?

Jawab

a = 8                r = 4 : 8 = ½

S_n = a ( 1- rⁿ )

          1 – r

    = 8 ( 1 – ½⁸ )

            1 – ½

    = 16 ( 1 – 1/256 )

             ½

    = 16 ( 256/256 – 1/256) è = 16 . 255/256

                                             = 4080/256

                                             = 255/16 è = 15. 15/16

STATISTIKA

Chapter I

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan, menata, menyajikan, menganalisis dan menginterprestasikan data menjadi informasi untuk membantu pengambilan keputusan yang efektif.

Statistik adalah suatu kumpulan angka yang tersusun lebih dari satu angka.

Jenis-jenis statistika

Statistika terbagi menjadi 2 jenis yaitu :

1.    Statistika deskriptif : statistika yang digunakan untuk menggambarkan atau menganalisis suatu hasil penelitian tetapi tidak digunakan untuk membuat keputusan yang lebih luas. Statistik deskiptif mempunyai tujuan untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran obyek yang diteliti sebagaimana adanya tanpa menarik kesimpulan / generalisasi. Dalam statistik deskriptif dikemukakan cara-cara penyajian data dalam bentuk tabel atau grafik atau diagram.

a.    Penyajian data

b.    Ukuran penyebaran

c.    Ukuran pemusatan

d.    Angka indeks

e.    Deret berkala

f.     Prediksi

2.    Statistika induktif (inferensial ) : statistika yang digunakan untuk menganalisis data sampel dan hasilnya akan digeneralisasikan untuk populasi dimana sampel diambil. Statistika inferensial ( induktif ) mempunyai tujuan untuk penarikan kesimpulan, sebelum penarikan kesimpulan dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dari statistika deskriftif. Ada 2 macam statistika induktif yaitu

a.    Parametrik : untuk menganalisis data interval atau cara yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal, diantaranya probabilitas dan teori keputusan, metode sampling, teori pendugaan, pengujian hipotesa, regresi dan korelasi

b.    Non parametrik : untuk menganalisis data nominal dari ordinal dan populasi yang bebas distribusi.

 

DATA

Pengertian data adalah bentuk jamak dari datum, yaitu keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan.

Tujuan mengumpulkan data, yaitu untuk memperoleh gambaran suatu keadaan, sebagai dasar pengambilan keputusan.

Syarat data yang baik

            Untuk memperoleh kesimpulan yang tepat dan benar maka data yang dikumpulkan dalam pengamatan harus nyata dan benar. Syarat data yang baik antara lain :

1.    Data harus obyektif ( sesuai dengan keadaan sebelumnya )

2.    Data harus mewakili ( representatif )

3.    Data harus up to date ( terkini )

4.    Data harus relevan dengan masalah yang akan dipecahkan.

Pembagian jenis data

            Ada 2 jenis data, yaitu

1.    Menurut cara memperoleh data

a.    Data primer adalah data yang dicatat langsung dilapangan oleh pengamat atau peneliti. Contohnya melalui pengamatan langsung, melalui wawancara, melalui angket, dll

b.    Data sekunder adalah data yang dicatat oleh sumber lain, biasanya berupa data histori. Contohnya data curah hujan selama 3 tahun.

2.    Menurut sifatnya

a.    Data kualitatif adalah data yang berupa kalimat, kata atau gambar. Contohnya mutu pendidikan di AMG cukup tinggi, taruna AMG umunya berpenampilan rapi.

b.    Data kuantitatif terbagi menjadi 2, yaitu

i.              Data diskrit / nominal adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung / membilang

ii.            Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Ada 3 macam data kontinu

Ø  Data ordinal adalah data dalam bentuk peringkat atau berjenjang. Misalnya juara 1,2,3 dst. Biasanya makin kecil angkanya semakin tinggi nilainya.

Ø  Data interval adalah data yang jaraknya sama tetapi tidak mempunyai nilai nol ( absolut ). Misalnya nol derajat celcius. Tetapi mempunya nilai walaupun datanya nol tapi masih mempunyai nilai.

Ø  Data rasio adalah data yang jaraknya sama tetapi mempunyai nilai nol absolut. Jadi kalau data nilainya nol maka tidak mempunyai arti apa-apa. Misalnya panjang (m), berat (kg). 

Fisika Atmosfer

Chapter I

Atmosfer adala selubung udara yang menyelimuti bumi akibat gravitasi bumi dengan berbagai macam proses didalamnya meliputi proses kimia, gerakan-gerakan dinamis maupun proses-proses fisika.

atmosfer terbentang dari permukaan daratan maupun lautan dipermukaan bumi sampai ketinggian tak terhingga (relatif), kerapatannya mendekati kecil tak terhingga pada ruang angkasa bebas.

pada ketinggian 80 km ( +/- 50 mile) atmosfer kerapatannya cukup hampa untuk menebarkan cahaya matahari menjadi sinar tampak.

pada ketinggian 600 km (+/- 330 mile) kerapatan atmosfer menjadi sangat rendah, gas-gas tertentu mulai berkurang keberadaannya dan lintasa-lintasan molekul gas cukup panjang membentuk orbit elip dalam medan gravitasi bumi.

pada ketinggian 1000 km (+/- 600 mile) kerapatan atmosfer masih cukup menghasilkan efek-efek aurora yang dapat diamati.

pada ketinggian 30.000 km (+/- 18.600 mile) diatas permukaan bumi, suatu gerakan molekul bagaikan dalam rotasi benda padat dan tidak dapat dipandang sebagai orbit akibat gaya gravitasi bumi, sehingga ketinggian ini bisa diambil sebagai kemungkinan batas limit lapisan atas atmosfer

Atmosfer secara vertikal dapat dibagi atas sejumlah lapisan-lapisan, tetapi secara umum pembagian lapisan-lapisan yang sering dipakai dan diakui adalah 

1. Lapisan TROPOSFER dari permukaan +/- 10 km

2. Lapisan STRATOSFER dari +/- 10 km sampai +/- 80 km

3, Lapisan IONOSFER diatas +/- 80 km

dan masing-masing lapisan sering dibagi kedalam/ beberapa lapisan lagi. Troposfer berisikan bagian terbesar dari massa atmosfer (+/- 3/4) dan berisikan hampir semua uap air atmosfer, pada umumnya kejadian-kejadian cuaca sangat erat sekali dengan fenomena Troposfer.

pers. (2.4) : p1=p₀ e.p (-z¹/H)

disebut / dikenal sebagai persamaan barometer

p_{0= Tekanan udara Permukaan}

z = Ketinggian Permukaan z=0

z¹= Ketinggian

H = Skala Ketinggian, suatu ukuran dalam atmosfer

bila z¹=H lalu p¹=p₀.e^-1 —> p¹=0,37 p₀

karena itu H adalah ketinggian dimana tekanan udara 37% tekanan udara permukaan. Tekanan udara menurun 1/e untuk setiap penamabahan ketinggian sebesar skala ketinggian

FENOMENA ATMOSFER

1. Cuaca adalah keadaan atmosfer pada suatu saat tertentu dalam waktu yang relatif / tidak terlalu lama

unsur cuaca diantaranya adalah arah dan kecepatan angin, tekanan udara, suhu udara, endapan, dsb.

2. Angin adalah massa udara yang bergerak dari yang bertekanan tinggi ketekanan rendah.

arah angin dalam pengamatan ditentukan darimana angin itu datang, yang besarnya sudut datang dihitung dari arah utara (0^o) searah jarum jam, dan kecepatannya dinyatakan dalam km/jam atau dalam knot (1,8 km/jam = 0,5 m/detik )

pengukuran arah dan kecepatan angin lazimnya adalah komponen horizontalnya, yang menarik dari fenomena angin adalah bila kecepatannya yang sangat lemah bila terjadi didaerah yang sedang mengalami polusi udara yang tinggi dapat sangat berbahaya, begitu pula kecepatan angin yang sangat tinggi seperti pada daerah-daerah yang terjadi Defresi tropis, Low area, atau siklon dan sejenisnya.

3. Hujan ( fenomena paling komplek )

satu diantara jenis endapan dalam atmosfer berbenuk partikel air yang jauh kepermukaan bumi. ( R= 0,5 mm ). Partikel air yang tidak sampai jatuh kepermukaan bumi = VIAGA ( R<0,5 mm )

4. Awan merupakan kumpulan partikel uap air dan berbagai polutan lainya didalamnya. Jenis awan secara garis besar adalah 

1. Awan rendah = Cu,Cb,St,Sc

2. Awan menengah = Ac, As, Ns

3. awan tinggi = Cs,Cc,Ci

pembentukan awan tergantung kepada faktor makro fisis dan mikro fisis atmosfer. Dapat dikategorikan kedalam 4 kelompok genetika mekanisme pergerakan vertikal yang dapat mendukung terbentuknya awan 

a. aliran keatas secara perlahan-lahan diatas wilayah udara yang luas diasosiasikan dengan adanya tekanan tinggi dan sistim tekanan rendah

b. konveksi thermal

c. aliran udara keatas oleh mekanisme turbulensi

d. kenaikana / aliran keatas akibat kondisi orografi

5. Cuaca Daerah Tropis

> perubahan suhu udara antara musim dingin dan musim panas sangat rendah dibandingkan daerah lintang menengah ataupun lintang tinggi.

> sebagian besar daerah tropis terdiri dari lautan dengan variasi suhu +/- 3^o c dan diatas kontinental variasinya +/- 10^oc. Pembentukan daerah hujan, badai guntur dari jenis endapan lainnya lebih didominasi oleh kondisi lokal ( orografi ) dengan sebagian dipengaruhi oleh kondisi daerah-daerah intang menengah terdekat.

6. Peta Cuaca

a. peta cuaca sipnotik permukaan

b. peta cuaca sipnotik upper-air

c. peta / aerological diagram.