CHAPTER I
Materi
1. Deret > deret tak terhingga, deret tak terhingga dengan suku-suku positif, tes intergal untuk menunjukkan ke konvergenan deret dengan suku-suku positif dan negatif, deret taylor, deret mc laurrin, deret faurie.
2. Matrik > penjumlahan pengurangan perkalian matrik, matrik tranpose, adjoint matrik, matrik invers determinan.
3. Fungsi > komplek, bidang argon, penjumlahan pengurangan perkalian dengan pembagian fungsi komplek.
4. Barisan > himpunan besaran U1, U2, U3 yang disusun dalam urutan tertentu dan masig-masing sukunya dibentuk menurut pola yang tertentu pula yaitu Ur=f( r ).
Contoh :
1, 3, 5, 7 ….. barisan berikutnya haruslah 9
2, 6, 18, 54 … barisan berikutnya haruslah 162
Demikian juga 1, -5, 37, 6 adalah barisan juga tetapi polanya tidak begitu jelas dan suku berikutnya tidak dapat diketahui langsung.
Barisan berhingga adalah barisan yang banyak sukunya berhingga.
Barisan tak berhingga adalah barisan yang tiada akhirnya.
DERET
Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan
Contoh :
1, 3, 5, 7 ….. barisan
1+3+5+7 ….. deret
Suku-suku deret akan dinyatakan sebagai berikut :
U1 suku pertama
U2 suku kedua
U3 suku ketiga dan seterusnya
Ada dua jenis deret khusus yaitu
II Deret hitung ( arithmetic series )
Salah satu contoh deret hitung adalah deret 2+5+8+11+14 …..
Pertambahan yang disebut beda ( common diference ) yaitu 3, d=3
11-8=3 5-2=3
Deret hitung umunya dapat ditulis a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ …..
Dimana a= suku pertama d= beda
Dan a. Suku ke-n = a+(n-1)d
b. jumlah n = suku yang pertama
Sn=n/2 ( 20+(n-1)d )
Contoh :
a. Cari jumlah suku 20 yang pertama dari deret 10+6+2-2-6
Jawab :
10+6+2-2-6
a = 10
d = 2-6 = -4
20 = 10+ ( 20-1)x -4
= 10+ ( 19)x -4
=10+ ( -56 )
= -66 Sn = n/2 (20+ ( 20-1) x -4 )
= 20/2 (20+ ( 19 x -4 )
= 10 x -56 = -560
Latihan
1. Jika suku ke-7 = 22 suku ke-12 = 37 tetapkan deret ?
Jawab
U7 = 22 U12 = 37
d = U12 – U7
12 – 7
= 37 – 22
5
= 15 = 3 jadi d = 3 U7 = a + (n – 1) x d
5 22 = a + (7 – 1)x 3
22 = a + (6)x 3
22 = a + 18
a = 22 – 18
a = 4
2. Jika suku ke-6 = 5 suku ke-10 = 21 tentukan jumlah 30 suku pertama ?
Jawab
U6 = 5 U10 = 21
d = U10 – U6
10 – 6
= 21 – 5
4
= 16
4
d = 4 U6 = a + (n – 1)x d
5 = a + (6 – 1)x 4
5 = a + 20
a = 20 – 5
a = 15
Sn = n (30+ (30 – 1)x 4
2
= 30/2 (30+ (29 x 4)
= 15 (30 + 119)
= 15 x 146
= 2190
MEAN ARITMETIK
Kadang-kadang kita harus mencari rata-rata (mean) aritmatik duah buah bilangan p dan q. Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah bilangan A diantara bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga p + A + q membentuk suatu deret hitung.
A – p = d dan q – A = d
A – p = q – A è 2A = p + q
A = p + q
2
Ternyata mean aritmatik 2 bilangan tidak lain adalah harga tengah, jadi mean aritmatik dari 23 dan 58 adalah 40,5. Menyisipkan 3 buah aritmatik diantara bilangan yang diketahui p dan q kita harus menyisipkan p + A + B + C + q
Contoh
Sisipkanlah 3 buah mean aritmatik diantara 8 dan 18 ?
Jawab
8 + A + B + C + 18
a = 8 suku ke-5 = 18 è a + 4d = 18
jadi 8 + 4d = 18
4d = 18 – 8
d = 10 / 4 = 2,5
A = 8 + 2,5 = 10,5
B = 8 + 5 = 13
C = 8 + 7,5 = 15,5 jadi mean aritmatik yang dicari adalah 10.5, 13, 15,5
Latihan
Carilah 5 buah mean aritmatik diantara 12 dan 21,6
Jawab
12 + A + B + C + D + E + 21.6
a = 12 suku ke-7 = 21.6 è a + 6d = 21.6
jadi 12 + 6d = 21.6
6d = 21.6 – 12
6d = 9.6
d = 9.6 / 6 = 1.6
A = 12 + 1.6 = 13.6
B = 12 + 3.2 = 15.2
C = 12 + 4.8 = 16.8
D = 12 + 6.4 = 18.4
E = 12 + 8.0 = 20.0 jadi mean aritmatik yang dicari adalah 13.6, 15.2, 16.8, 18.4, 20.0
II. Deret Ukur ( deret goemetrik)
Dinyatakan dengan DU : 1 + 3 + 9 + 27 + 81
Rasio = 27 : 9 = 3 9 : 3 = 3
Deret ukur mempunyai bentuk umum a + ar + ar2 + ar3 …
Dan harus diingat
1. Suku ke-n = ar n-1
2. Jumlah suku ke-n è Sn = a ( 1 – r n )
1 – r
Contoh
Untuk derat 8 + 4 + 2 + 1 + ½ …. tentukan jumlah suku pertama?
Jawab
a = 8 r = 4 : 8 = ½
Sn = a ( 1- rn )
1 – r
= 8 ( 1 – ½8 )
1 – ½
= 16 ( 1 – 1/256 )
½
= 16 ( 256/256 – 1/256) è = 16 . 255/256
= 4080/256
= 255/16 è = 15. 15/16
TARUNA LANGITAN 